توزيع t (ستيودنت)

نحتاج لحساب f(1.5) لـ ν=5. باستخدام معادلة PDF لتوزيع t: f(t) = Γ((ν+1)/2) / (√(νπ) Γ(ν/2)) * (1 + t²/ν)^(−(ν+1)/2). أولاً، احسب دوال جاما. Γ(3) = 2! = 2، و Γ(2.5) = (3/2)*(1/2)*√π = (3/4)√π ≈ 1.32934. العامل الثابت: Γ(3)/(√(5π) Γ(2.5)) = 2 / (√(5π)*1.32934). √(5π)=√(15.70796)=3.9633. إذن الثابت = 2/(3.9633*1.32934)=2/5.267=0.3797. الآن t²/ν = (2.25)/5=0.45. ثم (1+0.45)^(−(6)/2)= (1.45)^(-3)=1/1.45^3=1/3.048625=0.328. اضرب الثابت: 0.3797*0.328=0.1246. قيمة PDF تقريباً 0.1246. في اختبار الفرضيات، إذا كانت x تمثل إحصاء t، فإن قيمة PDF تشير إلى الاحتمالية النسبية؛ القيمة 0.1246 تعني أن عند t=1.5 بدرجات حرية 5، كثافة الاحتمال معتدلة. لحساب القيم الاحتمالية (p-values)، نكامل PDF من تلك النقطة إلى ما لا نهاية. هذا مفيد في حساب المناطق الحرجة للعينات الصغيرة.

لـ df=30، توزيع t قريب جداً من التوزيع الطبيعي المعياري. احسب PDF عند x=0. أولاً، الثابت: Γ((30+1)/2)=Γ(15.5)، Γ(30/2)=Γ(15). باستخدام الخصائص والتقريبات: Γ(15.5)= (13.5)! تقريباً؟ في الواقع، نستخدم الصيغة: Γ(15.5)= (15.5-1)Γ(14.5)=... الأفضل استخدام القيم المعروفة: Γ(15)= 87178291200؟ لكن مضروب 14! = 87178291200، أما جاما لأنصاف الأعداد: Γ(15.5) = (13.5)(11.5)...(1.5)√π. بشكل أدق، الثابت = Γ(15.5)/(√(30π)Γ(15)). بما أن t=0، (1+0/30)^(−31/2)=1. إذن PDF = الثابت. لـ ν كبير، يقترب الثابت من 1/√(2π) ≈ 0.39894. لنحسب: Γ(15.5) = (15.5-1)(15.5-2)...(1.5)√π = (14.5)(13.5)...(1.5)√π. حاصل الضرب من 1.5 إلى 14.5 بخطوة 1: عدد الحدود 14. أسهل: استخدام تقريب نسبة جاما: Γ(ν/2+0.5)/Γ(ν/2) لـ ν كبير ~ √(ν/2). إذن الثابت = 1/(√(νπ)) * √(ν/2) = 1/√(2π). بالفعل لـ ν=30، PDF عند 0 يساوي حوالي 0.3989، مطابق تقريباً للطبيعي. يوضح هذا أن توزيع t يتقارب إلى الطبيعي مع زيادة df، وهذا هو السبب في أن اختبارات t قوية لأحجام العينات المعتدلة.