خطوات الاستخدام
الخطوة 1: فهم الغرض – فترة التسامح (Tolerance Interval) تقدّر نطاقاً يحتوي على نسبة محددة (مثلاً 95%) من المجتمع الإحصائي بمستوى ثقة معين (مثلاً 99%). وهي تختلف عن فترة الثقة (التي تقدّر معلمة مثل المتوسط) أو فترة التنبؤ (التي تتنبأ بقيمة مفردة مستقبلية). يتم إنشاء الفترة كـ متوسط ± k × انحراف معياري، حيث k هو معامل يعتمد على حجم العينة n والنسبة p ومستوى الثقة γ.
الخطوة 2: إدخال المعاملات – أدخل متوسط العينة (x̄) كأفضل تقدير لمتوسط المجتمع. أدخل الانحراف المعياري للعينة (s) كتقدير للانحراف المعياري للمجتمع. حدد حجم العينة (n)، والنسبة المستهدفة (p) كرقم عشري بين 0 و1 (مثلاً 0.90 لـ 90%)، ومستوى الثقة (γ) كرقم عشري بين 0 و1 (مثلاً 0.95 لـ 95%). هذه القيم تؤثر مباشرة على معامل k.
الخطوة 3: حساب معامل k – معامل k لفترة تسامح ثنائية الجانب لتوزيع طبيعي يُحدد من جداول إحصائية أو تقريبات. لـ n و p و γ معطاة، تحقق المعادلة: P[Φ(μ + kσ) - Φ(μ - kσ) ≥ p] = γ، حيث Φ هي دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري. هذا يضمن أنه باحتمال γ، تغطي الفترة على الأقل نسبة p من المجتمع. تستخدم التقريبات الشائعة توزيعات t غير المركزية أو الصيغة k ≈ z_{(1+p)/2} * sqrt((n-1)/χ²_{γ, n-1}) للعينات الكبيرة، لكن القيم الدقيقة تتطلب جداول متخصصة أو برامج.
الخطوة 4: حساب الفترة – اضرب معامل k في الانحراف المعياري للعينة (s) لتحصل على نصف العرض = k × s. ثم الحد الأدنى = المتوسط - k×s والحد الأعلى = المتوسط + k×s. هذه الفترة هي فترة تسامح ثنائية الجانب. لفترات أحادية الجانب (مثل حد أعلى فقط)، يُستخدم معامل k مختلف. الفترة الناتجة تعطي نطاقاً يمكنك الادعاء أنه يحتوي على الأقل على النسبة المحددة من المجتمع بمستوى الثقة المحدد.
الخطوة 5: تفسير النتيجة – المخرجات تقول: 'نحن واثقون بنسبة [γ]% أن على الأقل [p]% من المجتمع يقع بين [الحد الأدنى] و [الحد الأعلى].' مثلاً، بمتوسط=100، انحراف معياري=10، n=30، p=0.95، γ=0.99، فإن معامل k حوالي 3.350، لذا الفترة [66.5, 133.5]. هذا يعني أننا واثقون بنسبة 99% أن على الأقل 95% من قيم المجتمع تقع بين 66.5 و133.5. لاحظ أن فترات التسامح أوسع من فترات الثقة للمتوسط لأنها تهدف لتغطية القيم الفردية وليس فقط المتوسط.
أمثلة محلولة
تطبيقات عملية على فترة التسامح بخطوات الحل كاملة.
الحل
المعطيات: المتوسط = 520، الانحراف المعياري = 12، n = 30، p = 0.99، γ = 0.95.
أولاً، نحتاج إلى معامل k لفترة تسامح ثنائية الجانب للتوزيع الطبيعي مع n=30 و p=0.99 و γ=0.95. باستخدام الجداول الإحصائية القياسية أو التقريبات (مثل طريقة Howe أو جداول Odeh & Owen)، فإن معامل k يساوي تقريباً 3.733 (هذه القيمة دقيقة للعينات الصغيرة).
ثم نصف العرض = k * الانحراف المعياري = 3.733 * 12 = 44.796 ميجاباسكال.
الحد الأدنى = 520 - 44.796 = 475.204 ميجاباسكال.
الحد الأعلى = 520 + 44.796 = 564.796 ميجاباسكال.
التفسير: نحن واثقون بنسبة 95% أن على الأقل 99% من قضبان الفولاذ لها قوة شد بين 475.2 و 564.8 ميجاباسكال. هذه الفترة مفيدة لوضع المواصفات – فهي تضمن أن غالبية الإنتاج يفي بالمتطلبات بثقة عالية.
ملاحظة: معامل k حساس لحجم العينة. مع n=30، الفترة أوسع مما لو كانت n أكبر، لأننا أقل يقيناً بشأن معالم المجتمع. بالنسبة لـ n=100، سيكون معامل k لنفس p و γ أصغر (حوالي 3.229)، مما يعطي فترة أضيق.
الحل
للحد العلوي الأحادي الجانب، نحتاج إلى معامل k يحقق: P( μ + kσ ≥ quantile_p ) = γ، حيث quantile_p هو المئين p من المجتمع. للبيانات الموزعة طبيعياً، يُعطى معامل k الأحادي الجانب بالصيغة: k = (t_{γ, n-1}(z_p√n)) / √n، حيث t_{γ, n-1}(δ) هو الكم من توزيع t غير المركزي مع معامل عدم تمركز δ. بدلاً من ذلك، باستخدام الجداول: لـ n=40، p=0.95، γ=0.99، معامل k الأحادي الجانب حوالي 2.838 (من الجداول القياسية).
المعطيات: المتوسط=25، الانحراف المعياري=3، n=40، p=0.95، γ=0.99.
الحد الأعلى = المتوسط + k * الانحراف المعياري = 25 + 2.838 * 3 = 25 + 8.514 = 33.514 سم.
التفسير: نحن واثقون بنسبة 99% أن على الأقل 95% من أطوال السلاحف أقل من 33.5 سم. هذه فترة أحادية الجانب – توفر حداً أعلى يغطي غالبية المجتمع بثقة عالية. هذا النوع من الفترات مفيد عندما يكون الحد الأعلى فقط هو المهم (مثل الحد الأقصى للتركيز المسموح به).
يختلف الحساب عن الحالة ثنائية الجانب لأننا نهتم فقط بذيل واحد. معامل k الأحادي الجانب أصغر عموماً من معامل k الثنائي لنفس p و γ لأننا لا نحتاج لتغطية كلا الطرفين. للمقارنة، فترة ثنائية الجانب مع p=0.95 و γ=0.99 لـ n=40 سيكون لها k أكبر (حوالي 3.315)، مما يعطي فترة أوسع.
أمثلة محسوبة
قيم مُدخَلة ونتيجة محسوبة فعليًا بواسطة فترة التسامح.
قيم مُدخَلة قياسية
- المتوسط (x̄)
- 50
- الانحراف المعياري (s)
- 10
- حجم العينة (n)
- 30
- النسبة المطلوبة (0-1)
- 0.95
- مستوى الثقة
- 90