خطوات الاستخدام
الخطوة 1: صياغة الفرضية الصفرية والبديلة. في اختبار z لنسبتين، الفرضية الصفرية H₀ تنص على أن النسبتين السكانيتين متساويتان: p₁ = p₂. الفرضية البديلة H₁ قد تكون أحادية الجانب (p₁ < p₂، p₁ > p₂) أو ثنائية الجانب (p₁ ≠ p₂) اعتماداً على سؤال البحث. معامل الذيل الذي تدخله ('يسار' أو 'يمين' أو 'ثنائي') يحدد اتجاه الاختبار.
الخطوة 2: التحقق من شروط الاستدلال: (أ) العشوائية – يجب أن تكون العينتان عينتين عشوائيتين مستقلتين أو من تجربة عشوائية. (ب) الاستقلال – كل عينة أقل من 10% من مجتمعها (شرط 10%) والمجموعتان مستقلتان عن بعضهما. (ج) النجاح/الفشل – نحتاج إلى 10 نجاحات و10 إخفاقات على الأقل في كل عينة، ولكن بما أننا نستخدم النسبة المجمعة، نتحقق من n₁p̂ ≥ 10، n₁(1-p̂) ≥ 10، n₂p̂ ≥ 10، n₂(1-p̂) ≥ 10، حيث p̂ هي النسبة المجمعة المحسوبة في الخطوة التالية.
الخطوة 3: حساب النسبة المجمعة p̂. تحت الفرضية الصفرية بأن p₁ = p₂، أفضل تقدير للنسبة السكانية المشتركة هو المتوسط المرجح لنسب العينات: p̂ = (x₁ + x₂) / (n₁ + n₂)، حيث x₁ = p₁ * n₁ و x₂ = p₂ * n₂ (عدد النجاحات). تُستخدم النسبة المجمعة في معادلة الخطأ المعياري لاختبار z لنسبتين.
الخطوة 4: حساب الخطأ المعياري (SE) لفرق النسب العينية. باستخدام النسبة المجمعة، SE = sqrt[ p̂ * (1 - p̂) * (1/n₁ + 1/n₂) ]. تفترض هذه المعادلة الاستقلالية وتجانس التباينات (تباينات متساوية تحت H₀).
الخطوة 5: حساب إحصائية اختبار z. z = (p₁ - p₂) / SE. تخبرنا قيمة z عن عدد الانحرافات المعيارية التي يبعدها الفرق الملاحظ عن الصفر (الفرق المفترض تحت الفرضية الصفرية).
الخطوة 6: إيجاد القيمة الاحتمالية (p-value) بناءً على نوع الذيل. لاختبار يساري (H₁: p₁ < p₂)، القيمة الاحتمالية = P(Z < z). لاختبار يميني (H₁: p₁ > p₂)، القيمة الاحتمالية = P(Z > z) = 1 - P(Z < z). لاختبار ثنائي الجانب (H₁: p₁ ≠ p₂)، القيمة الاحتمالية = 2 * P(Z > |z|). القيمة الاحتمالية هي احتمال ملاحظة فرق بنفس الحدة أو أكثر حدة من الفرق في عينتك، بافتراض أن الفرضية الصفرية صحيحة.
الخطوة 7: اتخاذ القرار وتفسير النتيجة. قارن القيمة الاحتمالية بمستوى الدلالة المحدد مسبقاً α (عادة 0.05). إذا كانت القيمة الاحتمالية ≤ α، ارفض H₀ واستنتج أن هناك دليلاً إحصائياً على اختلاف النسبتين السكانيتين. إذا كانت القيمة الاحتمالية > α، لا ترفض H₀. تذكر أن تنظر أيضاً في الدلالة العملية وحجم التأثير.
أمثلة محلولة
تطبيقات عملية على اختبار z لنسبتين بخطوات الحل كاملة.
الحل
لدينا p₁ = 45/200 = 0.225، n₁ = 200، p₂ = 30/180 ≈ 0.1667، n₂ = 180، ونريد اختباراً ثنائي الجانب.
الخطوة 1: الفرضيات: H₀: p₁ = p₂، H₁: p₁ ≠ p₂.
الخطوة 2: التحقق من الشروط: نحتاج لحساب النسبة المجمعة أولاً.
الخطوة 3: النسبة المجمعة: x₁ = 45، x₂ = 30، n₁+n₂ = 380، لذلك p̂ = (45+30)/380 = 75/380 ≈ 0.1974.
التحقق من شرط النجاح/الفشل: n₁p̂ = 200*0.1974 = 39.48 ≥ 10، n₁(1-p̂)=200*0.8026=160.52≥10، n₂p̂=180*0.1974=35.532≥10، n₂(1-p̂)=180*0.8026=144.468≥10. الشروط مستوفاة بافتراض العشوائية.
الخطوة 4: الخطأ المعياري: SE = sqrt( p̂*(1-p̂)*(1/n₁+1/n₂) ) = sqrt( 0.1974*0.8026*(1/200+1/180) ) = sqrt( 0.1585*(0.005+0.005556) ) = sqrt(0.1585*0.010556) ≈ sqrt(0.001673) ≈ 0.0409.
الخطوة 5: z = (0.225 - 0.1667) / 0.0409 ≈ 0.0583 / 0.0409 ≈ 1.426.
الخطوة 6: القيمة الاحتمالية (ثنائية الجانب) = 2 * P(Z > 1.426). باستخدام جدول التوزيع المعياري أو آلة حاسبة، P(Z > 1.426) ≈ 0.0765، لذا القيمة الاحتمالية ≈ 0.153.
الخطوة 7: بما أن القيمة الاحتمالية = 0.153 > 0.05، لا نرفض H₀. لا يوجد دليل إحصائي كافٍ لاستنتاج أن معدلات الآثار الجانبية تختلف بين الدواء أ والدواء ب. ومع ذلك، فإن الفرق الملاحظ (حوالي 5.8 نقطة مئوية) قد يكون ذا أهمية عملية، وقد تكتشف عينة أكبر هذا الفرق.
الحل
لدينا p₁=0.12، n₁=1000؛ p₂=0.1125، n₂=800. اختبار يميني: H₁: p₁ > p₂.
الخطوة 1: H₀: p₁ = p₂، H₁: p₁ > p₂.
الخطوة 2: النسبة المجمعة: x₁ = 0.12*1000 = 120، x₂ = 0.1125*800 = 90، مجموع النجاحات = 210، مجموع n = 1800، p̂ = 210/1800 = 0.1167.
التحقق من الشروط: n₁p̂ = 1000*0.1167 = 116.7 ≥10، n₁(1-p̂)=883.3≥10، n₂p̂=800*0.1167=93.36≥10، n₂(1-p̂)=706.64≥10. جيد.
الخطوة 3: SE = sqrt(0.1167*0.8833*(1/1000+1/800)) = sqrt(0.1031*(0.001+0.00125)) = sqrt(0.1031*0.00225) = sqrt(0.000232) ≈ 0.01523.
الخطوة 4: z = (0.12 - 0.1125) / 0.01523 = 0.0075 / 0.01523 ≈ 0.4926.
الخطوة 5: القيمة الاحتمالية (يمينية) = P(Z > 0.4926) ≈ 0.3111 (من جدول Z).
الخطوة 6: بما أن القيمة الاحتمالية = 0.3111 > 0.05، لا نرفض H₀. لا يوجد دليل معنوي على أن الحملة أ لديها معدل تحويل أعلى من الحملة ب. على الرغم من أن نسبة التحويل في العينة للحملة أ أعلى قليلاً (0.12 مقابل 0.1125)، إلا أن الفرق صغير وقد يكون بسبب الصدفة العشوائية.
أمثلة محسوبة
قيم مُدخَلة ونتيجة محسوبة فعليًا بواسطة اختبار z لنسبتين.
قيم مُدخَلة قياسية
- النسبة 1 (p̂₁)
- 0.55
- حجم العينة 1
- 100
- النسبة 2 (p̂₂)
- 0.45
- حجم العينة 2
- 100
- نوع الاختبار
- two
قيم مُدخَلة قياسية
- النسبة 1 (p̂₁)
- 0.8
- حجم العينة 1
- 80
- النسبة 2 (p̂₂)
- 0.8
- حجم العينة 2
- 80
- نوع الاختبار
- right