تحليل التباين ثنائي الاتجاه

لدينا مستويان للسماد (أ) ومستويان للري (ب)، مع 3 مكررات لكل منهما (إجمالي 12 مشاهدة). أولاً، حساب المتوسط الكلي: (20+22+24+30+32+28+25+27+23+35+33+37)/12 = 336/12 = 28. متوسطات الصفوف (السماد): العضوي: (20+22+24+30+32+28)/6 = 156/6 = 26؛ الكيميائي: (25+27+23+35+33+37)/6 = 180/6 = 30. متوسطات الأعمدة (الري): المنخفض: (20+22+24+25+27+23)/6 = 141/6 = 23.5؛ المرتفع: (30+32+28+35+33+37)/6 = 195/6 = 32.5. متوسطات الخلايا: عضوي/منخفض: (20+22+24)/3 = 22؛ عضوي/مرتفع: (30+32+28)/3 = 30؛ كيميائي/منخفض: (25+27+23)/3 = 25؛ كيميائي/مرتفع: (35+33+37)/3 = 35.

SST = مجموع مربعات الانحرافات الكلي: (20-28)^2 + ... + (37-28)^2 = 64+36+16+4+16+0+9+1+25+49+25+81 = 326. SSA = n_b * reps * مجموع (متوسط_الصف - المتوسط الكلي)^2 = 2 * 3 * [(26-28)^2 + (30-28)^2] = 6 * (4 + 4) = 48. SSB = n_a * reps * مجموع (متوسط_العمود - المتوسط الكلي)^2 = 2 * 3 * [(23.5-28)^2 + (32.5-28)^2] = 6 * (20.25 + 20.25) = 6 * 40.5 = 243. SSAB = reps * مجموع ((متوسط_الخلية - متوسط_الصف - متوسط_العمود + المتوسط الكلي)^2) = 3 * [(22 - 26 - 23.5 + 28)^2 + (30 - 26 - 32.5 + 28)^2 + (25 - 30 - 23.5 + 28)^2 + (35 - 30 - 32.5 + 28)^2] = 3 * [(0.5)^2 + (-0.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.5)^2] = 3 * (0.25+0.25+0.25+0.25) = 3. SSE = SST - SSA - SSB - SSAB = 326 - 48 - 243 - 3 = 32.

درجات الحرية: df_A = 1، df_B = 1، df_AB = 1، df_الخطأ = n_a * n_b * (reps-1) = 2*2*2 = 8، df_الكلي = 11. متوسطات المربعات: MSA = 48/1 = 48، MSB = 243/1 = 243، MSAB = 3/1 = 3، MSE = 32/8 = 4. نسب F: F_A = 48/4 = 12، F_B = 243/4 = 60.75، F_AB = 3/4 = 0.75.

قيم F الحرجة عند α=0.05: F(1,8) ≈ 5.32. بما أن F_A=12 > 5.32 و F_B=60.75 > 5.32، فإن كلا التأثيرين الرئيسيين معنوي. F_AB=0.75 < 5.32، لذا التفاعل غير معنوي. التفسير: نوع السماد ومستوى الري يؤثران بشكل معنوي على محصول القمح. لا يوجد تفاعل معنوي؛ تأثير السماد ثابت عبر مستويات الري. على وجه التحديد، السماد الكيميائي يعطي متوسط أعلى (30 كجم) من العضوي (26 كجم)، والري المرتفع يعطي متوسط أعلى (32.5 كجم) من المنخفض (23.5 كجم).

هنا n_a=2، n_b=3، reps=4، إجمالي N=24. المتوسط الكلي: مجموع القيم = (5+6+7+6)+(8+9+10+9)+(7+8+9+8)+(4+5+6+5)+(7+8+7+8)+(9+10+11+10) = 24+36+32+20+30+40 = 182، المتوسط = 182/24 ≈ 7.5833. متوسطات الصفوف: المعرفي: (24+36+32)/12 = 92/12 ≈ 7.6667؛ السلوكي: (20+30+40)/12 = 90/12 = 7.5. متوسطات الأعمدة: المنخفض: (5+6+7+6+4+5+6+5)/8 = 44/8 = 5.5؛ المتوسط: (8+9+10+9+7+8+7+8)/8 = 66/8 = 8.25؛ العالية: (7+8+9+8+9+10+11+10)/8 = 72/8 = 9. متوسطات الخلايا: معرفي/منخفض: (5+6+7+6)/4 = 6؛ معرفي/متوسط: (8+9+10+9)/4 = 9؛ معرفي/عالية: (7+8+9+8)/4 = 8؛ سلوكي/منخفض: (4+5+6+5)/4 = 5؛ سلوكي/متوسط: (7+8+7+8)/4 = 7.5؛ سلوكي/عالية: (9+10+11+10)/4 = 10.

حساب SST: مجموع مربعات الانحرافات عن المتوسط الكلي: (5-7.5833)^2 + ... + (10-7.5833)^2. باستخدام الصيغة: SST = مجموع المشاهدات^2 - (مجموع المشاهدات)^2/N. مجموع المربعات: 5^2+6^2+7^2+6^2+8^2+9^2+10^2+9^2+7^2+8^2+9^2+8^2+4^2+5^2+6^2+5^2+7^2+8^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+10^2 = 25+36+49+36+64+81+100+81+49+64+81+64+16+25+36+25+49+64+49+64+81+100+121+100 = 1460 (كما تم الحساب سابقاً). معامل التصحيح = (182)^2/24 = 33124/24 ≈ 1380.1667. إذن SST = 1460 - 1380.1667 = 79.8333.

SSA = n_b * reps * مجموع (متوسط_الصف - المتوسط الكلي)^2 = 3*4*[(7.6667-7.5833)^2 + (7.5-7.5833)^2] = 12*[ (0.0834)^2 + (-0.0833)^2 ] = 12*(0.00696+0.00694)=12*0.0139 = 0.1668.

SSB = n_a * reps * مجموع (متوسط_العمود - المتوسط الكلي)^2 = 2*4*[(5.5-7.5833)^2 + (8.25-7.5833)^2 + (9-7.5833)^2] = 8*[(-2.0833)^2 + (0.6667)^2 + (1.4167)^2] = 8*(4.3403+0.4444+2.0069)=8*6.7916=54.3328.

متوسطات الخلايا: معرفي/منخفض=6، معرفي/متوسط=9، معرفي/عالية=8؛ سلوكي/منخفض=5، سلوكي/متوسط=7.5، سلوكي/عالية=10. حساب التفاعل: لكل خلية، الانحراف = متوسط_الخلية - متوسط_الصف - متوسط_العمود + المتوسط الكلي. لمعرفي/منخفض: 6 - 7.6667 - 5.5 + 7.5833 = 0.4166. معرفي/متوسط: 9 - 7.6667 - 8.25 + 7.5833 = 0.6666. معرفي/عالية: 8 - 7.6667 - 9 + 7.5833 = -1.0834. سلوكي/منخفض: 5 - 7.5 - 5.5 + 7.5833 = -0.4167. سلوكي/متوسط: 7.5 - 7.5 - 8.25 + 7.5833 = -0.6667. سلوكي/عالية: 10 - 7.5 - 9 + 7.5833 = 1.0833. مربعات هذه القيم: 0.1736, 0.4444, 1.1737, 0.1736, 0.4444, 1.1737. المجموع = 3.5834. الضرب في reps=4: SSAB = 4*3.5834 = 14.3336.

SSE = SST - SSA - SSB - SSAB = 79.8333 - 0.1668 - 54.3328 - 14.3336 = 11.0001 ≈ 11.

درجات الحرية: df_A = 1، df_B = 2، df_AB = 2، df_الخطأ = n_a*n_b*(reps-1) = 2*3*3=18، df_الكلي=23.

متوسطات المربعات: MSA=0.1668/1=0.1668، MSB=54.3328/2=27.1664، MSAB=14.3336/2=7.1668، MSE=11/18≈0.6111.

نسب F: F_A=0.1668/0.6111≈0.273، F_B=27.1664/0.6111≈44.45، F_AB=7.1668/0.6111≈11.73.

قيم F الحرجة: F(1,18)≈4.41، F(2,18)≈3.55 عند α=0.05. الاستنتاج: التأثير الرئيسي لنوع العلاج غير معنوي (F_A<4.41، p>0.05). التأثير الرئيسي للجرعة معنوي (F_B>3.55، p<0.05). التفاعل معنوي (F_AB>3.55، p<0.05). التفسير: جرعة الدواء تؤثر بشكل معنوي على تقليل القلق. تأثير نوع العلاج يعتمد على الجرعة: في الجرعات المنخفضة والمتوسطة، العلاج السلوكي يعطي درجات أقل قليلاً، ولكن في الجرعة العالية، العلاج السلوكي يعطي درجات أعلى (متوسط 10 مقابل 8). هذا التفاعل المعنوي يشير إلى أن أفضل مجموعة هي العلاج السلوكي مع الجرعة العالية.