عمليات المتجهات

خطوات الاستخدام

الخطوة 1: اختيار العملية. حدد نوع العملية التي تريد إجراءها من القائمة المنسدلة: 'الضرب النقطي' (Dot Product) لحساب حاصل الضرب القياسي، أو 'الضرب الاتجاهي' (Cross Product) لحساب حاصل الضرب المتجهي، أو 'المقدار' (Magnitude) لحساب طول المتجه. كل عملية لها استخدامات مختلفة: الضرب النقطي يعطي كمية قياسية تعبر عن مدى توازي متجهين، الضرب الاتجاهي يعطي متجهاً عمودياً على كليهما، والمقدار يعطي طول المتجه.

الخطوة 2: إدخال مكونات المتجه الأول. أدخل قيم x₁, y₁, z₁ للمتجه الأول في الحقول المخصصة. هذه الأرقام تمثل إحداثيات المتجه في الفضاء ثلاثي الأبعاد. إذا كان المتجه في المستوى فقط (ثنائي الأبعاد)، اترك z₁ = 0. تأكد من إدخال أرقام صحيحة أو عشرية. مثال: للمتجه a = (3, -1, 2) أدخل x₁=3, y₁=-1, z₁=2.

الخطوة 3: إدخال مكونات المتجه الثاني (إن لزم). إذا اخترت عملية الضرب النقطي أو الضرب الاتجاهي، ستحتاج إلى إدخال قيم x₂, y₂, z₂ للمتجه الثاني. هذه المكونات تمثل المتجه b. إذا اخترت عملية المقدار، يمكن ترك هذه الحقول فارغة (أو ثابتة). مثال: للمتجه b = (4, 0, -5) أدخل x₂=4, y₂=0, z₂=-5.

الأسئلة الشائعة

الضرب النقطي لمتجهين a = (x₁,y₁,z₁) و b = (x₂,y₂,z₂) يُعطى بالصيغة a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. هذه عملية جبرية تعطي عدداً قياسياً (وليس متجهاً). من منظور هندسي، يرتبط الضرب النقطي بزاوية θ بين المتجهين بالعلاقة: a·b = |a||b| cosθ, حيث |a| و |b| هما مقدارا المتجهين. لذلك يمكن استخدام الضرب النقطي لإيجاد الزاوية بين متجهين: cosθ = (a·b)/(|a||b|). إذا كان a·b > 0، تكون الزاوية حادة (<90°). إذا كان a·b = 0، يكون المتجهان متعامدين (θ = 90°). إذا كان a·b < 0، الزاوية منفرجة (>90°). في التطبيقات الفيزيائية، يمثل الضرب النقطي الشغل عندما تكون القوة F والإزاحة d: W = F·d. في الرسوميات الحاسوبية، يستخدم لحساب الإضاءة (ناتج الضرب النقطي بين متجه السطح ومتجه الضوء). في الرياضيات، يستخدم لاختبار التعامد. مثال: إذا كان a = (1,0,0) و b = (0,1,0) فإن a·b = 0، وهما متعامدان. يمكنكم تجربة أي قيم باستخدام حاسبة عمليات المتجهات المتاحة. أما في حالة المتجهات في المستوى (2D)، نفس الصيغة تطبق مع تجاه المركبة z (جعلها صفراً). الضرب النقطي يساعد في تحليل القوى إلى مركبات متعامدة.

الضرب الاتجاهي لمتجهين a = (x₁,y₁,z₁) و b = (x₂,y₂,z₂) يُعطي متجهاً جديداً c = a×b = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂). هذا المتجه c عمودي على كل من a و b (أي c·a = 0 و c·b = 0). مقدار المتجه الناتج هو |c| = |a||b| sinθ, حيث θ الزاوية بين a و b. وهذا المقدار يساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي تشكله a و b. اتجاه c يحدد بقاعدة اليد اليمنى: إذا وجهت أصابع يدك اليمنى في اتجاه a ثم طويتها نحو b، فإن إبهامك يشير إلى اتجاه c. هذه القاعدة ضرورية في الفيزياء لتحديد اتجاه الكميات المتجهة مثل عزم الدوران (τ = r×F) والقوة المغناطيسية (F = qv×B). مهم: الضرب الاتجاهي لا يبدل: a×b = - (b×a). أي أنه عملية غير تبديلية. إذا كان المتجهان متوازيين (θ=0 أو π)، يكون sinθ=0 وبالتالي a×b = 0 (متجه صفري). مثال: a = (1,2,3), b = (4,5,6) ⇒ a×b = (-3,6,-3) كما في مثالنا السابق. عندها يمكن التحقق من التعامد: a·(a×b)= (1)(-3)+(2)(6)+(3)(-3)= -3+12-9=0، وكذلك b·(a×b)= (4)(-3)+(5)(6)+(6)(-3)= -12+30-18=0. اتجاه هذا المتجه يحدد بقاعدة اليد اليمنى. في الفضاء ثلاثي الأبعاد، الضرب الاتجاهي يعطي المتجه العمودي على المستوى الذي يحتوي على a و b. هذا يستخدم في حسابات المساحة والحجم (الضرب الثلاثي القياسي).

مقدار المتجه v = (x,y,z) يُعطى بصيغة الجذر التربيعي لمجموع مربعات مكوناته: |v| = √(x² + y² + z²). هذه القيمة غير سالبة دائماً وتمثل الطول الهندسي للمتجه. إذا كان المتجه في المستوى (2D) يتم إهمال z (جعلها صفراً). أهمية المقدار: في الفيزياء، يمثل المقدار شدة الكمية مثل السرعة (السرعة القياسية) أو القوة. في الهندسة، يستخدم لتوحيد المتجهات (تحويلها إلى متجهات وحدة) بقسمة المتجه على مقداره: u = v/|v|. المتجه الواحدي له مقدار 1 واتجاهه نفس اتجاه v. هذا مفيد لتمثيل الاتجاهات دون اعتبار للشدة. مثال تطبيقي: سرعة طائرة v = (300, -50, 100) كم/ساعة. مقدارها |v| = √(300² + (-50)² + 100²) = √(90000+2500+10000) = √102500 ≈ 320.16 كم/ساعة. هذا هو معدل السرعة الفعلية (speed). أيضاً، يستخدم المقدار في حساب المسافة بين نقطتين إذا اعتبرنا المتجه هو الفرق بينهما. فإذا كانت النقطة A (x1,y1,z1) و B (x2,y2,z2)، فإن المسافة بينهما = |AB| = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²). يمكنكم استخدام حاسبة المتجهات لحساب المقدار بسهولة عن طريق إدخال المكونات.

الفرق الجوهري: الضرب النقطي ينتج كمية قياسية (رقم)، بينما الضرب الاتجاهي ينتج متجهاً عمودياً على المتجهين الأصليين. من حيث الصيغة: الضرب النقطي: a·b = |a||b| cosθ، الضرب الاتجاهي: |a×b| = |a||b| sinθ والاتجاه عمودي. التطبيقات: الضرب النقطي يستخدم لحساب الشغل، القدرة، إسقاط متجه على آخر، واختبار التعامد. الضرب الاتجاهي يستخدم لحساب عزم الدوران، القوة المغناطيسية، مساحة متوازي الأضلاع، واتجاه العمودي على مستوى. لتختار العملية المناسبة: اسأل نفسك: هل المطلوب كمية قياسية أم متجهة؟ إذا كنت بحاجة إلى 'كمية الشغل' (عدد)، اختر الضرب النقطي. إذا كنت بحاجة إلى 'متجه عزم الدوران' (متجه)، اختر الضرب الاتجاهي. أيضاً، إذا كنت تريد زاوية بين متجهين، استخدم الضرب النقطي (a·b) لأنه يعطي cosθ مباشرة. أما إذا كنت تريد مساحة متوازي الأضلاع أو متجهاً عمودياً، استخدم الضرب الاتجاهي. مثال: في مسألة حساب القوة المؤثرة على شحنة في مجال مغناطيسي، نستخدم الضرب الاتجاهي (F = q v×B). بينما في حساب الجهد الكهربائي الناتج عن مجال كهربائي على طول مسار، نستخدم الضرب النقطي. تذكر أن الضرب النقطي موجود في الفضاءات من أي بعد، بينما الضرب الاتجاهي يُعرف فقط في الفضاء ثلاثي الأبعاد (وبعض التعميمات في السبعة أبعاد). باستخدام هذه الحاسبة، يمكنك تجربة كلا النوعين على نفس المتجهات لرؤية الفرق.

عمليات المتجهات

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

أمثلة محلولة

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

حاسبات ذات صلة

2في مشكلة فيزيائية: قوة مؤثرة مقدارها F = (10, -5, 8) نيوتن وازاحة جسم d = (3, 2, -1) متر. احسب الشغل المبذول (الضرب النقطي) وعزم القوة إذا كان متجه نصف القطر r = (1, 4, 2) متر (عزم = r × F).

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة