خطوات الاستخدام
الخطوة 1: تحديد نسبة العينة (p̂). احسب p̂ = x / n، حيث x هو عدد النجاحات و n هو حجم العينة. هذه هي النسبة الملاحظة من بياناتك، والتي تعمل كتقدير نقطي لنسبة المجتمع. على سبيل المثال، إذا كان لديك 45 نجاحًا من أصل 100 محاولة، فإن p̂ = 45/100 = 0.45. هذه القيمة محورية في فترة والد.
الخطوة 2: اختيار مستوى الثقة وإيجاد درجة z المقابلة. مستويات الثقة الشائعة هي 90% (z = 1.645)، 95% (z = 1.960)، و 99% (z = 2.576). تمثل درجة z عدد الانحرافات المعيارية عن المتوسط في التوزيع الطبيعي المعياري. تحدد عرض الفترة: قيمة z أكبر تعطي فترة أوسع (ثقة أكبر).
الخطوة 3: حساب الخطأ المعياري (SE) لنسبة العينة. الصيغة هي SE = الجذر التربيعي لـ ( p̂ * (1 - p̂) / n ). يقيس هذا تباين نسبة العينة حول نسبة المجتمع الحقيقية. بالنسبة لـ p̂ = 0.45 و n = 100، SE = الجذر التربيعي لـ (0.45 * 0.55 / 100) = الجذر التربيعي لـ (0.2475 / 100) = الجذر التربيعي لـ 0.002475 ≈ 0.0497.
الخطوة 4: حساب هامش الخطأ (ME). اضرب درجة z في الخطأ المعياري: ME = z * SE. لمستوى ثقة 95% (z = 1.96) و SE = 0.0497، ME = 1.96 * 0.0497 ≈ 0.0974. هذا هو نصف عرض فترة الثقة.
الخطوة 5: بناء فترة الثقة والد. اطرح هامش الخطأ من p̂ للحصول على الحد الأدنى، وأضفه للحصول على الحد الأعلى: (p̂ - ME, p̂ + ME). لـ p̂ = 0.45 و ME = 0.0974، الفترة هي (0.3526, 0.5474). فسر ذلك على النحو التالي: نحن واثقون بنسبة 95% أن نسبة المجتمع الحقيقية تقع بين 35.26% و 54.74%.
أمثلة محلولة
تطبيقات عملية على فترة والد بخطوات الحل كاملة.
الحل
لدينا x = 280، n = 500. أولاً، احسب p̂ = 280/500 = 0.56. لمستوى ثقة 95%، z = 1.96. الخطأ المعياري هو SE = الجذر التربيعي لـ (0.56 * 0.44 / 500) = الجذر التربيعي لـ (0.2464 / 500) = الجذر التربيعي لـ 0.0004928 ≈ 0.0222. هامش الخطأ هو ME = 1.96 * 0.0222 ≈ 0.0435. وبالتالي، فترة ثقة والد 95% هي (0.56 - 0.0435، 0.56 + 0.0435) = (0.5165، 0.6035). التفسير: نحن واثقون بنسبة 95% أن النسبة الحقيقية للناخبين الذين يدعمون السياسة الجديدة تتراوح بين 51.65% و 60.35%. ملاحظة: تعمل فترة والد بشكل جيد هنا لأن n كبيرة و p̂ ليست قريبة من 0 أو 1. ومع ذلك، إذا كانت العينة أصغر أو النسبة متطرفة، فقد تكون الفترات البديلة مثل ويلسون أو كلوبر-بيرسون أكثر دقة.
الحل
هنا x = 2، n = 30، لذا p̂ = 2/30 ≈ 0.0667. لمستوى ثقة 90%، z = 1.645. SE = الجذر التربيعي لـ (0.0667 * 0.9333 / 30) = الجذر التربيعي لـ (0.06222 / 30) = الجذر التربيعي لـ 0.002074 ≈ 0.0455. ME = 1.645 * 0.0455 ≈ 0.0749. فترة والد هي (0.0667 - 0.0749، 0.0667 + 0.0749) = (-0.0082، 0.1416). الحد الأدنى سالب، وهو مستحيل لنسبة. هذا يوضح قيدًا رئيسيًا لفترة والد: يمكن أن تنتج قيمًا خارج [0,1] عندما تكون p̂ قريبة من 0 أو 1، أو عندما تكون n صغيرة. تنشأ المشكلة لأن التقريب الطبيعي ينهار في هذه الحالات. بالنسبة لمثل هذه البيانات، يُوصى باستخدام فترة ويلسون أو طريقة دقيقة. فترة والد غير موثوقة هنا، ويجب الإبلاغ عن الفترة كـ (0، 0.1416) بعد الاقتطاع، ولكن مع التحذير من أن التغطية الفعلية قد تكون أقل مما هو مذكور.
أمثلة محسوبة
قيم مُدخَلة ونتيجة محسوبة فعليًا بواسطة فترة والد.
قيم مُدخَلة قياسية
- x
- 50
- n
- 100
- Z
- 1.96
قيم مُدخَلة مرتفعة
- x
- 85
- n
- 170
- Z
- 95