خطوات الاستخدام
اختيار النظام الكمي: حدد نوع النظام الذي ترغب في حساب مستويات طاقته. الخيارات المتاحة هي 'جسيم في صندوق' (Particle in a Box) و'مذبذب توافقي' (Harmonic Oscillator). لكل نظام معادلة طاقة مختلفة. بالنسبة للجسيم في صندوق، تعتمد الطاقة على عدد الكم الرئيسي (n) وكتلة الجسيم (m) وطول الصندوق (L). أما للمذبذب التوافقي، فتعتمد على عدد الكم (n) وثابت القوة (k) وكتلة الجسيم (m). اختر النظام المناسب لتطبيقك.
إدخال عدد الكم: أدخل عدد الكم الرئيسي (n) وهو عدد صحيح موجب (n = 1, 2, 3, ...). يمثل هذا العدد مستوى الطاقة. كلما زاد n، زادت الطاقة. في كل نظام، تبدأ الطاقة الأدنى من n=1 (باستثناء المذبذب التوافقي حيث توجد طاقة النقطة الصفرية عند n=0 في بعض الصيغ، لكن عادةً ما يُستخدم n=0 كأرضي). تأكد من إدخال قيمة صحيحة موجبة.
إدخال معاملات النظام: حسب النظام المختار، أدخل المعاملات الفيزيائية المطلوبة. للجسيم في صندوق: كتلة الجسيم (m) بوحدة الكيلوجرام، وطول الصندوق (L) بوحدة المتر. للمذبذب التوافقي: كتلة الجسيم (m) بوحدة الكيلوجرام، وثابت القوة (k) بوحدة نيوتن لكل متر. هذه المعاملات تحدد مقياس الطاقة. مثلاً، في الجسيم في صندوق، تقل الطاقة بزيادة الكتلة أو طول الصندوق. في المذبذب، تزداد الطاقة بزيادة ثابت القوة.
حساب الطاقة: بعد إدخال جميع القيم، اضغط على زر 'حساب' لتطبيق المعادلة المناسبة. للجسيم في صندوق: E_n = (n^2 * h^2) / (8 * m * L^2)، حيث h هو ثابت بلانك. للمذبذب التوافقي: E_n = (n + 1/2) * h * f، حيث f = (1/(2π)) * sqrt(k/m) هو التردد الزاوي. ستعرض الحاسبة الطاقة بوحدة الجول. يمكنك تحويلها إلى إلكترون فولت أو وحدات أخرى إذا أردت.
أمثلة محلولة
تطبيقات عملية على مستويات الطاقة الكمومية بخطوات الحل كاملة.
الحل
نستخدم معادلة الجسيم في صندوق: E_n = (n² h²) / (8 m L²). نعوض h = 6.626×10⁻³⁴ جول·ثانية، m = 9.11×10⁻³¹ كجم، L = 1×10⁻⁹ م. نحسب العامل الثابت: h²/(8 m L²) = (6.626² × 10⁻⁶⁸) / (8 × 9.11×10⁻³¹ × 1×10⁻¹⁸) = (43.92×10⁻⁶⁸) / (72.88×10⁻⁴⁹) = 0.6026×10⁻¹⁹ جول = 6.026×10⁻²⁰ جول. إذن الطاقة عند n=1: E₁ = 1² × 6.026×10⁻²⁰ = 6.026×10⁻²⁰ جول. عند n=2: E₂ = 4 × 6.026×10⁻²⁰ = 2.410×10⁻¹⁹ جول. عند n=3: E₃ = 9 × 6.026×10⁻²⁰ = 5.423×10⁻¹⁹ جول. للتحويل إلى إلكترون فولت (1 eV = 1.602×10⁻¹⁹ جول): E₁ ≈ 0.376 eV، E₂ ≈ 1.504 eV، E₃ ≈ 3.384 eV. لاحظ أن فرق الطاقة بين المستويات يزداد مع n (ΔE = (2n+1) × الثابت)، وهذا يتوافق مع ميكانيكا الكم.
الحل
نستخدم معادلة المذبذب التوافقي: E_n = (n + ½) h f، حيث f = (1/(2π)) √(k/m). أولاً نحسب التردد f: f = (1/(2×3.14159)) × √(100 / 1.0×10⁻²⁶) = (0.15915) × √(1.0×10²⁸) = 0.15915 × 1.0×10¹⁴ = 1.5915×10¹³ هرتز. ثم h f = (6.626×10⁻³⁴) × (1.5915×10¹³) = 1.054×10⁻²⁰ جول. الآن: n=0 (الأرضي): E₀ = (0+½)×1.054×10⁻²⁰ = 5.27×10⁻²¹ جول. n=1: E₁ = (1+½)×1.054×10⁻²⁰ = 1.581×10⁻²⁰ جول. n=2: E₂ = (2+½)×1.054×10⁻²⁰ = 2.635×10⁻²⁰ جول. لاحظ أن مستويات الطاقة متساوية الفرق: ΔE = h f = 1.054×10⁻²⁰ جول. هذه الخاصية فريدة للمذبذب التوافقي. الطاقة لا تساوي صفراً حتى في المستوى الأرضي (طاقة النقطة الصفرية) بسبب مبدأ عدم اليقين.
أمثلة محسوبة
قيم مُدخَلة ونتيجة محسوبة فعليًا بواسطة مستويات الطاقة الكمومية.
جسيم في صندوق 1 نانومتر - الحالة الأساسية
- النظام الكمومي
- particle-in-box
- العدد الكمي n
- 1
- طول الصندوق
- 1
- تردد المذبذب
- 100
المستوى الثاني في نفس الصندوق
- النظام الكمومي
- particle-in-box
- العدد الكمي n
- 2
- طول الصندوق
- 1
- تردد المذبذب
- 100
مذبذب توافقي 100 تيراهرتز - الحالة الأساسية
- النظام الكمومي
- harmonic-oscillator
- العدد الكمي n
- 0
- طول الصندوق
- 1
- تردد المذبذب
- 100
مستوى الهيدروجين n=2
- النظام الكمومي
- hydrogen
- العدد الكمي n
- 2
- طول الصندوق
- 1
- تردد المذبذب
- 100