الانحدار الخطي

أولاً، حساب المتوسطات: x̄ = (1+2+3)/3 = 2، ȳ = (2+4+6)/3 = 4. ثم الانحرافات: لكل نقطة: (x_i - x̄, y_i - ȳ): (1-2,2-4)=(-1,-2)؛ (2-2,4-4)=(0,0)؛ (3-2,6-4)=(1,2). ثم حاصل الضرب: مجموع (x_i - x̄)(y_i - ȳ) = (-1)*(-2) + 0*0 + 1*2 = 2+0+2=4. مجموع مربعات انحرافات x: (-1)² + 0² + 1² = 2. الميل b = 4/2 = 2. المقطع a = ȳ - b*x̄ = 4 - 2*2 = 0. إذن خط الانحدار: ŷ = 0 + 2x، أي y = 2x. لحساب R²: مجموع مربعات انحرافات y: (-2)² + 0² + 2² = 8. ثم R² = (4)² / (2 * 8) = 16/16 = 1. وهذا يشير إلى احتواء خطي تام لأن جميع النقاط تقع تمامًا على الخط y=2x.

المتوسطات: x̄ = (0+1+2)/3 = 1، ȳ = (1+3+2)/3 = 2. الانحرافات: للنقطة (0,1): (0-1,1-2)=(-1,-1)؛ (1,3): (0,1)؛ (2,2): (1,0). حاصل الضرب: (-1)*(-1)=1، 0*1=0، 1*0=0، المجموع = 1. مجموع مربعات انحرافات x: (-1)²+0²+1²=2. الميل b = 1/2 = 0.5. المقطع a = 2 - 0.5*1 = 1.5. الانحدار: ŷ = 1.5 + 0.5x. الآن R²: مجموع مربعات انحرافات y: (-1)²+1²+0²=2. البسط: (مجموع حاصل الضرب)² = 1²=1. المقام: (مجموع مربعات انحرافات x)*(مجموع مربعات انحرافات y) = 2*2=4. إذن R² = 1/4 = 0.25. هذا R² منخفض يشير إلى علاقة خطية ضعيفة؛ النقاط لا تقع قريبًا من الخط. الخط ŷ=1.5+0.5x يمر عبر (1,2) لكنه يخطئ الأخرى: القيمة المتوقعة عند x=0: 1.5 (الفعلية 1)، عند x=2: 2.5 (الفعلية 2). الأخطاء هي -0.5، 1، -0.5، مما يعطي SSE = 0.25+1+0.25=1.5.