الانحدار الخطي البسيط

أولاً، احسب المتوسطات: x̄ = (2+3+5+7+9)/5 = 26/5 = 5.2; ȳ = (65+70+80+85+95)/5 = 395/5 = 79. الآن نحسب الانحرافات والنواتج:

للزوج (2,65): (2-5.2)=-3.2, (65-79)=-14, الناتج=44.8, مربع انحراف x=10.24

(3,70): (3-5.2)=-2.2, (70-79)=-9, الناتج=19.8, المربع=4.84

(5,80): (5-5.2)=-0.2, (80-79)=1, الناتج=-0.2, المربع=0.04

(7,85): (7-5.2)=1.8, (85-79)=6, الناتج=10.8, المربع=3.24

(9,95): (9-5.2)=3.8, (95-79)=16, الناتج=60.8, المربع=14.44

مجموع النواتج = 44.8+19.8-0.2+10.8+60.8 = 136.0

مجموع مربعات x = 10.24+4.84+0.04+3.24+14.44 = 32.8

الميل β₁ = 136 / 32.8 ≈ 4.1463

المقطع β₀ = 79 - (4.1463 * 5.2) = 79 - 21.5608 ≈ 57.4392

معادلة الانحدار: ŷ = 57.4392 + 4.1463 x

بالنسبة لـ x=6 ساعات: ŷ = 57.4392 + 4.1463*6 = 57.4392 + 24.8778 = 82.317. إذن الدرجة المتوقعة حوالي 82.3.

وبالتالي، كل ساعة دراسة إضافية ترتبط بزيادة حوالي 4.15 نقطة، والمقطع (57.44) هو الدرجة المتوقعة لصفر ساعات. يوضح هذا المثال العملية الكاملة للحساب اليدوي وكيفية استخدام النموذج للتنبؤ.

المتوسطات: x̄ = (10+15+20+25)/4 = 70/4 = 17.5; ȳ = (200+250+300+350)/4 = 1100/4 = 275.

الانحرافات:

(10,200): (10-17.5)=-7.5, (200-275)=-75, الناتج=562.5, مربع x=56.25

(15,250): (15-17.5)=-2.5, (250-275)=-25, الناتج=62.5, المربع=6.25

(20,300): (20-17.5)=2.5, (300-275)=25, الناتج=62.5, المربع=6.25

(25,350): (25-17.5)=7.5, (350-275)=75, الناتج=562.5, المربع=56.25

مجموع النواتج = 562.5+62.5+62.5+562.5 = 1250

مجموع مربعات x = 56.25+6.25+6.25+56.25 = 125

β₁ = 1250/125 = 10

β₀ = 275 - 10*17.5 = 275 - 175 = 100

المعادلة: ŷ = 100 + 10x.

التفسير: لكل زيادة قدرها 100 قدم مربع في المساحة (لأن x بمئات الأقدام المربعة)، يزيد السعر بمقدار 10,000 دولار (لأن y بالألف دولار). إذن الميل = 10 يعني زيادة 10,000 دولار لكل 100 قدم مربع إضافية. المقطع 100,000 دولار هو السعر المتوقع لمنزل بمساحة صفر، وهو غير واقعي لكنه ضروري رياضيًا.

يوضح هذا المثال علاقة خطية تامة (جميع النقاط تقع على الخط تمامًا) كما يظهر من نمط البيانات.