خطوات الاستخدام
أدخل كتلة الثقب الأسود (M) بوحدة الكتلة الشمسية (M☉) أو بالكيلوغرام (kg). تستخدم الحاسبة الكتلة لحساب نصف قطر كرة الفوتون، وهو الحد الأدنى الذي يمكن أن تدور فيه الفوتونات في مدار دائري مستقر حول الثقب الأسود.
تطبق الحاسبة معادلة نصف قطر كرة الفوتون: r = 3GM/c²، حيث G هو ثابت الجاذبية (6.67430 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²)، وc هي سرعة الضوء (2.99792458 × 10⁸ m/s). هذه المعادلة مشتقة من حل شوارزشيلد في النسبية العامة.
تحول الحاسبة الكتلة المدخلة إلى كيلوغرام إذا لزم الأمر (1 كتلة شمسية = 1.98847 × 10³⁰ كجم)، ثم تحسب قيمة 3GM/c² بالمتر. الناتج هو نصف قطر كرة الفوتون.
يتم عرض النتيجة بوحدات قابلة للقراءة مثل الكيلومترات (km) أو الوحدات الفلكية (AU) حسب القيمة. يمكنك مقارنة هذا الرقم مع نصف قطر أفق الحدث (شوارزشيلد: r_s = 2GM/c²) حيث أن كرة الفوتون تقع عند 1.5 مرة من نصف قطر شوارزشيلد.
تفسير النتيجة: إذا كان نصف قطر كرة الفوتون صغيراً (مثلاً 4.5 كم لثقب شمسي)، فهذا يعني أن المنطقة التي يمكن للضوء أن يدور فيها قريبة جداً من الثقب. كلما زادت الكتلة، زاد نصف القطر خطياً.
أمثلة محلولة
تطبيقات عملية على كرة الفوتون بخطوات الحل كاملة.
الحل
نستخدم المعادلة: r = 3GM/c². أولاً، الكتلة M = 10 × 1.98847 × 10³⁰ = 1.98847 × 10³¹ كجم. ثم: G = 6.67430 × 10⁻¹¹, c = 2.99792458 × 10⁸. نحسب 3GM = 3 × 6.67430e-11 × 1.98847e31 = 3.982 × 10²¹. ثم نقسم على c² = (2.99792458e8)² = 8.98755179e16. الناتج: r = 3.982e21 / 8.98755e16 = 4.43 × 10⁴ متر = 44.3 كيلومتر. إذن نصف قطر كرة الفوتون حوالي 44.3 كم. لاحظ أن نصف قطر أفق الحدث لنفس الكتلة هو 29.5 كم، لذا كرة الفوتون أكبر بـ 1.5 مرة.
الحل
M = 4.1 × 10⁶ M☉ = 4.1e6 × 1.98847e30 = 8.1527 × 10³⁶ كجم. نحسب 3GM = 3 × 6.67430e-11 × 8.1527e36 = 1.632 × 10²⁷. c² = 8.98755e16. إذن r = 1.632e27 / 8.98755e16 = 1.816 × 10¹⁰ متر = 1.816 × 10⁷ كم = 18.16 مليون كيلومتر. ذلك يعادل حوالي 0.121 وحدة فلكية (AU). هذا أكبر من مدار عطارد حول الشمس. يمكن للفوتونات أن تدور على هذا البعد من الثقب الأسود العملاق.
أمثلة محسوبة
قيم مُدخَلة ونتيجة محسوبة فعليًا بواسطة كرة الفوتون.
قيم مُدخَلة قياسية
- الكتلة (kg)
- 50