خطوات الاستخدام
أدخل كتلة الجسم (m) بالكيلوغرام (kg). الكتلة هي كل ما يهم في هذه المعادلة لأن نصف قطر شفارتزشيلد يعتمد فقط على الكتلة بغض النظر عن كثافة الجسم أو تركيبته. على سبيل المثال، كتلة الشمس تبلغ حوالي 1.989×10^30 كجم.
تستخدم الآلة الحاسبة معادلة شفارتزشيلد الأساسية: Rₛ = 2GM/c². هنا، G هو ثابت الجاذبية (6.674×10⁻¹¹ م³/كجم/ث²)، وc هي سرعة الضوء في الفراغ (299,792,458 م/ث). هذه المعادلة مشتقة من حل معادلات أينشتاين للمجال في النسبية العامة لكتلة نقطية غير دوارة.
تقوم الآلة بضرب الكتلة المُدخلة في (2G) ثم تقسيم الناتج على c². لاحظ أن (2G/c²) ثابت عالمي قيمته حوالي 1.485×10⁻²⁷ م/كجم. لذا يمكن تبسيط الحساب: Rₛ = م × (1.485×10⁻²⁷). هذه الخاصية تجعل الحساب خطياً مع الكتلة.
الناتج هو نصف قطر شفارتزشيلد بالأمتار. هذا هو نصف القطر الذي يجب ضغط الكتلة داخله لتكوين ثقب أسود. إذا كان نصف قطر الجسم الفعلي أكبر من هذه القيمة، فلن يكون ثقباً أسود. أما إذا كان أصغر، فلا شيء (ولا حتى الضوء) يمكنه الإفلات من جاذبيته.
للحصول على نتائج دقيقة، تأكد من استخدام الكتلة بوحدة الكيلوغرام. الآلة الحاسبة تقوم بجميع التحويلات الداخلية. يمكنك أيضاً إدخال كتل الأجرام السماوية المعروفة (مثل الأرض، المشتري، الشمس) للحصول على أفق حدثها النظري.
أمثلة محلولة
تطبيقات عملية على نصف قطر شفارتزشيلد بخطوات الحل كاملة.
الحل
لحساب نصف قطر شفارتزشيلد للشمس، نطبق المعادلة: Rₛ = 2GM/c². أولاً، نحسب الثابت 2G/c² = (2 × 6.674×10⁻¹¹) / (299,792,458)² = 1.485×10⁻²⁷ م/كجم تقريباً. ثم نضرب في الكتلة: Rₛ = 1.989×10^30 × 1.485×10⁻²⁷ = 2.954×10³ م = 2,954 متراً. أي حوالي 2.95 كيلومتر. هذا يعني أنه إذا انضغطت الشمس إلى كرة نصف قطرها أقل من 3 كيلومترات، فإنها ستصبح ثقباً أسود. لكن الشمس في الواقع نصف قطرها حوالي 696,000 كيلومتر، لذا فهي بعيدة جداً عن أن تصبح ثقباً أسود. لاحظ أن هذا الحساب يفترض ثقباً أسود غير دوار (وفقاً لحل شفارتزشيلد).
الحل
نستخدم نفس الثابت: Rₛ = 5.972×10^24 × 1.485×10⁻²⁷ = 8.87×10⁻³ م = 0.00887 متر، أي حوالي 8.9 مليمتر. هذا يعني أن الأرض يجب أن تُضغط إلى كرة قطرها أقل من 1.8 سنتيمتر (حجم كرة زجاجية صغيرة) لتكوين ثقب أسود. بالطبع هذا غير ممكن فيزيائياً لأن الأرض تتكون من مادة عادية تحتاج لقوى هائلة لضغطها. لكن من المثير للاهتمام أن أي كتلة مهما كانت صغيرة لها نصف قطر شفارتزشيلد خاص بها، حتى الإنسان (كتلة 70 كجم) له نصف قطر شفارتزشيلد حوالي 1.04×10⁻²⁵ متر، وهو أصغر بكثير من حجم البروتون. لذا لا يمكن للكتل الصغيرة أن تشكل ثقوباً سوداء لأنها لا تستطيع تجاوز حد الكثافة المطلوب.
أمثلة محسوبة
قيم مُدخَلة ونتيجة محسوبة فعليًا بواسطة نصف قطر شفارتزشيلد.
قيم مُدخَلة قياسية
- M
- 1,990,000,000,000,000,000,000,000,000,000
قيم مُدخَلة مرتفعة
- M
- 3,382,999,999,999,999,000,000,000,000,000
قيم مُدخَلة منخفضة
- M
- 398,000,000,000,000,040,000,000,000,000
قيم مُدخَلة قياسية
- M
- 80