لمعان النجوم

نستخدم القانون L = 4πR²σT⁴. أولاً نحول نصف القطر إلى أمتار: R = 1 × 6.96×10⁸ = 6.96×10⁸ م. ثم نحسب: L = 4π × (6.96×10⁸)² × 5.67×10⁻⁸ × (5778)⁴. نحسب T⁴: (5778)⁴ = (5778²)². 5778² = 33,385,284، ثم تربيع الناتج: (33,385,284)² ≈ 1.114×10¹⁵. الآن نضرب: 4π ≈ 12.5664، R² = 4.844×10¹⁷، σ = 5.67×10⁻⁸، T⁴ = 1.114×10¹⁵. الناتج: L = 12.5664 × 4.844×10¹⁷ × 5.67×10⁻⁸ × 1.114×10¹⁵. نجمع الأسس: 12.5664 × 4.844 ≈ 60.86، 5.67 × 1.114 ≈ 6.316، ثم نضرب: 60.86 × 6.316 ≈ 384.6، والأسس: 17 + (-8) + 15 = 24، إذن L = 384.6 × 10²⁴ = 3.846×10²⁶ واط. وهذا قريب جداً من القيمة المقبولة 3.828×10²⁶ واط، والفرق بسبب التقريب. إذا حولنا إلى وحدات شمسية: L/L☉ = 3.846×10²⁶ / 3.828×10²⁶ ≈ 1.005، أي حوالي 1 لمعان شمسي.

نحول نصف القطر: R = 100 × 6.96×10⁸ = 6.96×10¹⁰ م. درجة الحرارة T = 3000 كلفن. T⁴ = (3000)⁴ = 81×10¹² = 8.1×10¹³. R² = (6.96×10¹⁰)² = 4.844×10²¹. نطبق القانون: L = 4π × 4.844×10²¹ × 5.67×10⁻⁸ × 8.1×10¹³. نجمع: 4π ≈ 12.5664، نضرب أولاً الأعداد: 12.5664 × 4.844 ≈ 60.86، ثم 5.67 × 8.1 ≈ 45.93، ثم حاصل ضرب الكل: 60.86 × 45.93 ≈ 2795. ثم الأسس: 21 + (-8) + 13 = 26، إذن L = 2.795×10²⁷ واط. حول إلى لمعان شمسي: L/L☉ = 2.795×10²⁷ / 3.828×10²⁶ ≈ 7.30. أي أن هذا العملاق الأحمر يلمع بحوالي 7.3 مرة أكثر من الشمس، رغم أن درجة حرارته أقل بكثير، وذلك بسبب نصف قطره الكبير جداً. وهذا يبين كيف أن زيادة نصف القطر تعوض انخفاض درجة الحرارة في قانون اللمعان.